Amplificadores Retroalimentados (Ejercicios)

En su búsqueda de métodos para el diseño de amplificadores con ganancia estable para el uso de los repetidores telefónicos Harold Black, un ingeniero de electrónica de la compañía Western Electric inventó el amplificador retroalimentado en 1928.
Desde entonces esta técnica se ha ocupado tan ampliamente que es casi imposible pensar en los circuitos electrónicos sin alguna forma de retroalimentación, tanto implícita como explícita; la mayor parte de los sistemas físicos incluyen alguna forma de retroalimentación. Más aún el concepto de la retroalimentación y su teoría asociada es utilizado corrien-temente en áreas diferentes de la Ingeniería, como el modelo de sistemas biológicos.
La retroalimentación puede ser tanto positiva como negativa (regenerativa,degenerativa). Es interesante notar, sin embargo, que los ingenieros en electrónica han desarro-llado la teoría de la retroalimentación negativa.
En el diseño de los amplificadores la retroalimentación se aplica para el efecto de una o más de las propiedades siguientes:
-Desensibiliza la ganancia- esto es, hace el valor de la menos sensible a las variaciones en el valor de los componentes del circuito, tales como las variaciones que podrían provocar las variaciones en la temperatura.
-Reduce la distorsión no lineal- es decir, hace la salida proporcional a la entrada (en otras palabras hace a la ganancia del valor de nivel de señal).
-Reduce el efecto del ruido- señales eléctricas indeseables generadas por los componentes del circuito y de la interfe-rencia externa.
-Controla las impedancias de entrada y de salida- al selec-cionar una topología de retroalimentación apropiada, puede hacerse que las impedancias de entrada y de salida aumenten o disminuyan según se desee.
-Extensión del ancho de banda del amplificador- Todas las propiedades deseables anteriores se obtienen a expensas de una reducción de ganancia, y al factor de reducción de ganan-cia se le llama magnitud de retroalimentación, es el factor por el cual el circuito se desensibiliza, mediante el cual el ancho de banda se extiende, la impedancia de entrada de un amplificador de voltaje se incrementa y así sucesivamente.
En síntesis, la idea básica de la retroalimentación negativa es cambiar ganancia por otras propiedades deseables.
Bajo ciertas condiciones la retroalimentación puede volverse positiva y de tal magnitud que cause oscilaciones.
Sin embargo, no debe implicarse que la retroalimentación positiva lleva a la inestabilidad, esta es útil en cierto número de aplicaciones tales como el diseño de los filtros activos.
Para hablar de amplificadores retroalimentados primero debemos citar todos las partes que componen un amplificador retroalimentado, así tenemos un amplificador básico, cualquier tipo de amplificador básico como los vistos en electrónica 2, una red de retroalimentación, esta red puede estar formada por elementos activos o pasivos, una red para muestrear la variable de salida y una red mezcladora que se utiliza para sumar la variable de entrada con la variable de retroalimentación. Consideremos la configuración inversora en la cual la variable de retroalimentación está desfasada 180 grados respecto a la entrada, si está en fase se dice que tenemos retroalimentación positiva.
Hay cuatro distintas combinaciones de transferencia en los amplificadores retroalimentados.
Avf= Xo = voltaje de salida
Xi voltaje de entrada AMPLIFICADOR DE VOLTAJE
Aif= Xo = corriente de salida AMPLIFICADOR DE VOLTAJE
Xi corriente de entrada
Gif =Xo = corriente de salida AMPLIF.DE TRANSADMITANCIA
Xi voltaje de entrada
Rmf= Xo = voltaje de entrada AMPLIF.DE TRANSIMPEDANCIA
Xi corriente de entrada
TOPOLOGIAS BASICAS
Amplificadores de voltaje (retroalimentación en serie y derivación), se requiere impedancia de entrada alta e impedancia de salida baja. Muestrea voltaje y suma voltaje.
Amplificadores de corriente (retroalimentación en derivación y serie). Impedancia de entrada baja y de salida alta. Muestrea corriente y suma corriente.
Amplificadores de transcoductancia (retroalimentación serie-serie). Muestrea corriente y suma voltaje.
Amplificadores de transimpedancia (retroalimentación derivación-derivación). Muestrea voltaje y suma corriente.
Si consideramos la realimentación negativa conectando la resistencia Rf entre la salida y la entrada. La comparación real de la salida y la entrada tiene lugar combinando las corrientes i1 e i2 en el nodo de entra-
da, por lo que se le llama diferenciación de corriente. Para facilitar el análisis se puede sustituir la resistencia de realimentación por el circuito equivalente representado en la figura 1.1.Si se desea un circuito equivalente general se tiene el de la figura 1.2
Según el señor Schilling un amplificador diferenciador de corriente negativa comprende conceptualmente tres secciones.

Un amplificador al que se le aplica la realimentación

Una red de realimentación que puede contener desde una sola resistencia hasta un circuito con elementos no lineales.

Un circuito diferenciador (o sumador) en que la salida se compara con la entrada.

DIFERENCIADOR DE TENSION

El circuito diferenciador de tensión difiere del circuito diferenciador de corriente en que la salida de la red de realimentación está en serie con la resistencia de entrada. Aquí la comparación de la salida y la entrada se realiza por medio de la adición de tensiones.
Para mayor claridad se muestra a continuación la figura de un circuito diferenciador de tensión.
La figura muestra la estructura básica al final de la página de un amplificador de retroalimentación. Más que mostrar voltajes y corrientes esta figura es un diagrama de flujo de señal en donde cada una de las señales puede representar tanto una señal de voltaje como una señal de corriente. El amplificador de lazo abierto tiene una ganancia A; de esta manera su salida "x se relaciona con la entrada xo mediante:
A=Xo/Xi
La salida x se alimenta tanto a la salida del amplificador básico como a la entrada del circuito de retroalimentación el cual produce una muestra de salida. Esta muestra de salida xo se relaciona con xo mediante la relación con el factor de retroalimentaci6n (Beta).
Xf=BXo
La señal de retroalimentación se resta de la señal de la fuente Xs que es la entrada al amplificador de retroalimentación completo para producir una señal X i que es la entrada del amplificador básico.
Xi=Xs-BXo
Esta es la sustracción que hace negativa la retroalimen-tación. En esencia la retroalimentación negativa reduce la seña que aparece a la entrada del amplificador básico.
En la descripción anterior va implícito que la fuente, la carga y el circuito de retroalimentación no cargan al amplificador básico esto es, la ganancia A no depende de ninguno de estos circuitos. En la práctica éste no será el caso y se tendrá que encontrar un método para formar un circuito real de la estructura ideal.
Este nuevo diagrama permitirá observar que la transmisión directa ocurre enteramente a través del amplificador básico y la transmisión inversa sucede enteramente a través del circuito de retroalimentación. D2e las ecuaciones Xo y X s podemos obtener la ganancia del amplificador retroalimentado así:
A=X0/Xi= Xo = Xo/Xi = Af
Xi-Bxo 1-BXO/Xi 1-AfB
A la cantidad AB se le llama ganancia de lazo 5 de bucle, y 1 + AB se llama cantidad o magnitud de retroalimentación.
Si, como en el caso de muchos circuitos, la ganancia de lazo AB grande.
entonces se deduce
AB»1
A f = 1/B
es decir, la ganancia del amplificador de retroalimentación se determina casi por completo por el circuito de retroali-mentación. Ya que el circuito de retroalimentación usualmente consta de componentes pasivos tan precisos como se desee, la ventaja de la retroalimentación negativa al obtener ganancia precisa, predecible y estable resulta evidente. En otras palabras, la ganancia total tendrá muy poca dependencia de la ganancia del amplificador básico. Esta es una propiedad deseable ya que la ganancia A es usualmente una función de muchos parámetros, algunos de los cuales pueden tener amplias tolerancias.
Si se emplea una gran magnitud de retroalimentación negativa, la señal de retroalimentación X f se vuelve una réplica casi exacta de la señal de entrada X S . Un resultado de esta propiedad es el seguimiento de las dos terminales de entrada de un amplificador op. de diferencia entre X S y X f que es Xi se conoce a veces como la señal de error.

DESARROLLO

Proponiendo
Vcc= 12v
ICQ= 10 mA
Rs= 8.2 K
RL= 15 K
Rf= 15K
Si analizamos el circuito utilizado para esta práctica tendremos que
Re= 1/ICQ= 1/10mA= 100 ohms
Rc= 5V/10mA= 500 ohms
R1= Rb/(1-Vbb/Vcc)= 1K/(1-1.7/12)=1.2K comercial
R2= Rb(Vcc/Vbb)= 1K(12/1.7)= 6.8K
Modelando la red de retroalimentación con parámetros h, debido a que es un serie paralelo y si utilizamos la técnica de reflejos de impedancia como hemos venido haciendo para todo tipo de problemas de este tipo:
Para poder obtener nuestra relación Vo/Vs obtenemos las siguientes rela- ciones de nuestro cto. anterior.
ib1/Vs = 10.025x10-6
ib2/ib1= -321.74(5.7 + Ze)
si Io= -2.59 ib2 y Vo=-Iox15K entonces
Vo/ib2=44.25K
Realizando la multiplicación de los cocientes anteriores tenemos:
Vo/Vs= 142.72/(5.7 + Ze)
Como Ze= Re/(sCRe+1)
S= ((5.7+Re)/(5.7CeRe)
Si Re=100 ohms, ahora calculamos el valor de Ce de la ecuación característica.
Para un polo a 15 KHz
Wp=1/5.4Ce
Ce=1.96uF
Con un valor comercial de 1.68uF el polo del circuito se encontrará a 17.5 KHz
El cálculo de los demás capacitores de acoplamiento se realiza utilizando el método que nos dió el Ing. Yanga llamado método rápido
W=1/CxRx donde Cx es el capacitor duscado
Rx es la resistencia vista por el capacitor
Obtenemos los siguientes valores de los capacitores
C1=0.22uF c2=1uF c3=0.1uF
Si hacemos que s tienda a infinito en nuestra ecuación de transferencia de voltaje, obtenemos nuestra ganancia en frecuencia media.
Av= (ib1/Vs)(ib2/ib1)(vo/ib2)
Donde obtenemos la ganancia del básico que es Av=24.98
Para hallar el lazo hacemos cero la excitación y abrimos el lazo colocando una fuente auxiliar llamada Vo´
L=(ib1/Vo´)(ib2/ib1)(vo/ib2)
Calculando para la frecuencia media haciendo s a infinito tenemos:
L=1.475
Para calcular la ganancia del amplificador retroalimentado
Avf= Av/(1-L)= 10.092
La impedancia de entrada del amplificador
Ri=9.126K
Y l2a impedancia de entrada del amplificador retroalimentado
Rif=9.126K(1+1.475)=22.58K como notamos la impedancia de entrada se hizo más grande por ser un amplificador serie.
La resistencia del amplificador básico
Ro= 455.8/15000=442.35
Para la impedancia de salida del amplificador retroalimentado
Rof= 442.35/(1+1.475)=178.72 ohms
De la ecuación característica poemos obtener la sensitividad
Swl Ce =1
Para aterrizar todos estos conocimientos ncesitamos llevarlos al laboratorio, he aquí los resultados en el laboratorio:
Av=24
Avf=9.55
Lazo=1.5
Ro=419.04 ohms
Rof=191.3 ohms
Frecuencia del polo 17.8 KHz
Sensitividad=1

Tutorial sobre Lugar Geometrico de las Raices

Polos de lazo cerrado

El Lugar Geometrico de las Raices (L.G.R.) de una funcion de lazo cerrado H(s) representa todas las posiciones posibles de los polos de lazo cerrado de un sistema con ganancia proporcional k y realimentacion unitaria:


La funcion de transferencia de lazo cerrado sera asi:



De este modo, los polos de lazo cerrado del sistema son aquellos que verifican la ecuacion1 + K H(s) = 0.
Si se expresa H(s) = b(s)/a(s), la ecuacion anterior tendra la forma:



Sea n el orden de a(s) y m el orden de b(s).
Seran considerados todos los valores positivos de k. En el limite, a mendida que k tiende a cero, los polos del sistema de lazo cerrado son a(s) = 0, es decir, los polos de H(s) (polos de lazo abierto). Cuando k tiende a infinito, los polos de lazo cerrado verifican b(s) = 0, es decir, son los ceros de H(s) (ceros de lazo cerrado).
Independientemente del valor de k seleccionado, el sistema de lazo cerrado debera poseer siempre n polos, donde n es el numero de polos de H(s). El L.G.R. debera tener n ramas, y cada una de ellas se inicia en un polo de H(s) y termina en un cero de H(s). Si H(s) posee mayor cantidad de polos que ceros (como a menudo es el caso), m < n y decimos asi que H(s) posee ceros en el infinito. En este caso, el limite de H(s) cuando s tiende a infinito es igual a cero. El numero de ceros en el infinito es igual a n-m, la diferencia entre los numeros de polos y ceros, y corresponde al numero de ramas del L.G.R. que van hacia el infinito (asintotas)
Considerando que el L.G.R. indica en realidad todas las posibles ubicaciones de los polos de lazo cerrado, del mismo podriamos seleccionar una ganancia tal de modo que nuestro sistema de lazo cerrado se comporte del modo deseado. Si alguno de los polos seleccionados se encuentra en el semiplano derecho, el sistema sera inestable. Los polos que se encuentran mas cercanos al eje imaginario poseen gran influencia en la respuesta de lazo cerrado, de modo tal que, aun cuando un sistema posea 3 o 4 polos, el mismo podria comportarse como un sistema de primer o segundo orden, dependiendo de la ubicacion de los polos (o el polo) dominante.

Grafico del L.G.R. de una funcion de transferencia

Considerese un sistema de lazo abierto cuya funcion de transferencia sea la siguiente:



Cual es el procedimiento para disenhar un controlador de realimentacion por el metodo de L.G.R.? Como ejemplo, establezcamos como criterio un sobrepico de 5% un tiempo de crecimiento de 1 segundo. Crearemos un archivo llamado "lgr.sce". En este archivo, introduciremos la funcion de transferencia y el comando de graficacion de L.G.R. como se muestra:

// Definicion del sistema
s=poly(0,"s");
num=poly([7 1],"s","coeff");
fac1=poly([5 1],"s","coeff");
fac2=poly([15 1],"s","coeff");
fac3=poly([20 1],"s","coeff");
fac4=poly([0 1],"s","coeff");
den=fac1*fac2*fac3*fac4;
[sistema1]=syslin('c',num/den);
evans(sistema1,10000);

Nota: el valor 10000, que indica la maxima ganancia a ser considerada para el grafico, es particularmente importante, ya que valores pequenhos pueden llevar a un grafico no ilustrativo. Se aconseja probar.

Seleccionando un valor de K a partir del L.G.R.
El grafico mostrado mas arriba muestra todas las posibles ubicaciones de los polos de lazo cerrado para un controlado puramente proporciona. Obviamente, no todos estos posibles polos satisfaran nuestros requerimientos de disenho.
Para determinar cual es la region aceptable, puede usarse el comando sgrid(Zeta,Wn) 
para graficar lineas de tasa de amortiguamiento constante y frecuencia natural constante.  Sus 2 argumentos son la tasa de amortiguamiento (Zeta) y la frecuencia natural (Wn). 
Para nuestro problema, deseamos un sobrepico menor que  5% (que es lo mismo que decir una tasa de amortiguamiento mayor que  0.7) y un tiempo de crecimiento de 1 segundo (que quiere decir una frecuencia natural mayor que 1.8). Por lo tanto, el comando a ser agragaod en nuestro archivo sera:


sgrid(0.7,1.8);






En el grafico, las lineas a aproximadamente 45 grados indican ubicaciones de polos donde  Zeta = 0.7; entre ambas lineas, los polos tendran  Zeta > 0.7 y fuera de ellas < 0.7.  El semicirculo indica ubicaciones de polos con una frecuencia natural Wn = 1.8; 
 siendo dentro del circulo Wn < 1.8 y fuera del mismo Wn > 1.8.  

Volviendo al problema original, para hacer que el sobrepico sea menor que  5%, los polos deberan estar ubicados entre ambas lineas, y para hacer que el tiempo de crecimiento sea menor que 1 segundo, los mismos deberan estar ubicados fuera del semicirculo. De este modo podemos identificar el area donde los polos poseen un comportamiento aceptable. Como todos los puntos de esta area se encuentran en el semiplano izquierdo, el sistema de lazo cerrado sera estable.

Del dibujo podemos ver que parte del L.G.R. se encuentra dentro de la region aceptable. Entonces, para este caso, solo es necesario un controlador proporcional. 



Para identificar el valor de ganancia k necesario para ubicar los polos en un lugar determinado, puede usarse la siguiente secuencia de comandos:



// Identificacion del valor de ganancia para los polos deseados

// hacer click con el boton DERECHO del raton. Una vez seleccionado

// el punto, hacer click con el boton izquierdo

x=locate(1)

polo=x(1)+%i*x(2);

num_eval=horner(num,polo);

den_eval=horner(den,polo);

k=abs(-1/(num_eval/den_eval));
Debe hacerse click con el boton derecho en el puntos sobre el L.G.R. donde se quiere colocar los polos. El valor sera devuelto en la variable k.







 

Respuesta de lazo cerrado




Para encontrar la respuesta al escalon, se necesita establecer la funcion de transferencia de lazo cerrado. Esto podria realizarse utilizando el algebra de bloques:




// Calculo de la funcion de transferencia de lazo cerrado

sistema2=(num/den)/(1+k*num/den);
La salida del sistema realimentado sera entonces:



// Respuesta al escalon

t=0:0.005:2;

[y X]=csim("step",t,sistema2);

plot2d(t,y);






 


Como se esperaba, la respuesta cumple con las condiciones establecidas. 

David Moreno
17812731
EES

Teorema de muestreo de Nyquist-Shannon

El teorema de muestreo de Nyquist-Shannon, también conocido como teorema de muestreo de Whittaker-Nyquist-Kotelnikov-Shannon, criterio de Nyquist o teorema de Nyquist , es un teorema fundamental de la teoría de la información, de especial interés en las telecomunicaciones.

Este teorema fue formulado en forma de conjetura por primera vez por Harry Nyquist en 1928 (Certain topics in telegraph transmission theory), y fue demostrado formalmente por Claude E. Shannon en 1949 (Communication in the presence of noise).

El teorema trata con el muestreo, que no debe ser confundido o asociado con la cuantificación, proceso que sigue al de muestreo en la digitalización de una señal y que, al contrario del muestreo, no es reversible (se produce una pérdida de información en el proceso de cuantificación, incluso en el caso ideal teórico, que se traduce en una distorsión conocida como error o ruido de cuantificación y que establece un límite teórico superior a la relación señal-ruido). Dicho de otro modo, desde el punto de vista del teorema, las muestras discretas de una señal son valores exactos que aún no han sufrido redondeo o truncamiento alguno sobre una precisión determinada, esto es, aún no han sido cuantificadas.

El teorema demuestra que la reconstrucción exacta de una señal periódica continua en banda base a partir de sus muestras, es matemáticamente posible si la señal está limitada en banda y la tasa de muestreo es superior al doble de su ancho de banda.

Dicho de otro modo, la información completa de la señal analógica original que cumple el criterio anterior está descrita por la serie total de muestras que resultaron del proceso de muestreo. No hay nada, por tanto, de la evolución de la señal entre muestras que no esté perfectamente definido por la serie total de muestras.

Errores de interpretación frecuentes en relación con el teorema y el proceso de muestreo

Es un error frecuente y extendido creer que, una vez satisfechos los criterios del teorema (criterios de Nyquist), la calidad de la reconstrucción de una señal en toda su banda (lo que excluye el uso de técnicas de Noise Shaping para alterar selectivamente la distorsión consecuencia del proceso de cuantificación en señales completamente digitalizadas, esto es, muestreadas y cuantificadas) es función de la tasa de muestreo empleada en el proceso de muestreo. Esto es totalmente falso desde la perspectiva matemática del teorema y un error, una vez consideradas las limitaciones prácticas, en el ámbito práctico de la física o la ingeniería. El proceso de muestreo (que no debe ser confundido con el de cuantificación) es, desde el punto de vista matemático perfectamente reversible, esto es, su reconstrucción es exacta, no aproximada. Dicho de otro modo, desde el punto de vista matemático al que se refiere el teorema de muestreo de Nyquist-Shannon, la reconstrucción de una señal periódica con componentes de hasta 10 kHz es idéntica tanto si se obtiene de una tasa de muestreo de 25000 muestras por segundo como de una de 50000 muestras por segundo. Matemáticamente, no aporta nada incrementar la tasa de muestreo una vez que esta cumple el criterio de Nyquist: la información necesaria para su reconstrucción total existe desde que la tasa cumple el criterio. También son errores frecuentes y extendidos, relacionados directamente con lo expuesto en este párrafo, creer que los puntos que resultan del proceso de muestreo se unen en la reconstrucción mediante rectas (interpolación lineal) formando dientes de sierra en las frecuencias representadas por pocas muestras o que existe un proceso de cálculo que realiza la interpolación de manera predictiva. En resumen, el teorema de muestreo demuestra que toda la información de una señal contenida en el intervalo temporal entre dos muestras cualesquiera está descrita por la serie total de muestras siempre que la señal registrada sea de naturaleza periódica (como lo es el sonido) y no tenga componentes de frecuencia igual o superior a la mitad de la tasa de muestreo; no es necesario inventar o predecir la evolución de la señal entre muestras.

En la práctica y dado que no existen los filtros analógicos pasa-bajo ideales, se debe dejar un margen entre la frecuencia máxima que se desea registrar y la frecuencia de Nyquist (frecuencia crítica) que resulta de la tasa de muestreo elegida (por ejemplo, para CD-Audio la frecuencia máxima de los componentes a registrar y reproducir es de 20 kHz y la frecuencia crítica de la tasa de 44100 muestras por segundo empleada es de 22,05 kHz; un margen del 10% aproximadamente para esta aplicación). Pero este margen es una necesidad que resulta de las limitaciones físicas de un filtro de reconstrucción (o filtro antialiasing) real, y no una consideración que contemple (o deba contemplar) el teorema, que pretende establecer el marco teórico (matemático) en el que se deben fundamentar los profesionales que tratan con el procesamiento digital de señales. En ocasiones se emplean técnicas de sobremuestreo para la reconstrucción de una señal con objeto de aumentar artificialmente este margen y permitir el uso de filtros de fase lineal (retardo de grupo constante) en la banda pasante y, en general, más sencillos y económicos con pendientes de atenuación más suaves. En todo caso, tanto el margen como el uso de técnicas de sobremuestreo son recursos de ingeniería para tratar restricciones prácticas que en nada invalidan la demostración y el contenido del teorema. El teorema es, de hecho, el marco analítico sobre el que las restricciones reales (no ideales) deben ser estudiadas.

Nuevos formatos y su relación con las interpretaciones erróneas sobre el teorema y su utilidad práctica

La aparición reciente de nuevos formatos de audio (denominados frecuentemente formatos de alta resolución) para usuario final que contienen señales muestreadas con tasas más elevadas a la empleada en CD-Audio han contribuido a extender la idea errónea de que la calidad en la reconstrucción de una señal en toda su banda (hasta la frecuencia crítica) es función directa de la tasa de muestreo empleada. En todo caso, parece evidente que el potencial para registrar y reproducir ultrasonidos no forma parte de los mensajes de mercadotecnia que pretenden promocionar estos en el mercado. Un argumento que suele tener la forma general de "si los nuevos formatos de alta resolución registran señales con tasas de muestreo más elevadas para la reconstrucción de señales con el mismo ancho de banda es porque el teorema de muestreo no aplica/no es válido/es erróneo y esta mayor tasa contribuye a una mejora en la calidad".

Los nuevos formatos de audio que recientemente han aparecido (aunque con escaso éxito comercial) que emplean Modulación por impulsos codificados (PCM) sin pérdida por compresión con tasas de muestreo más altas a las empleadas en el CD-Audio, (DVD-Audio, por ejemplo) para registrar y reproducir señales de idéntico ancho de banda se justifican porque permiten el empleo de filtros de reconstrucción más benignos, sencillos y económicos sacrificando un recurso cada vez más económico y de menor trascendencia (la capacidad de almacenamiento, un recurso crítico en el pasado) y porque, además, satisfacen simultáneamente las expectativas de un mercado como el audiófilo, caracterizado por dogmas[2] entre los que se encuentra muy extendida la falsa creencia de que esto representa una mejora en la calidad de la señal reconstruida (en particular, de sus componentes de alta frecuencia). Este error es sólo una consecuencia de una clara incomprensión del alcance y significado del teorema de muestreo y de establecer comparaciones falaces como, por ejemplo, con la digitalización de imágenes (donde no se realiza la reconstrucción de una señal periódica), etc.

La elevada tasa de muestreo de otro formato de audio de reciente aparición, el SACD o Super Audio CD, es una consecuencia del uso de una tecnología denominada comercialmente Direct Stream Digital™ (DSD) basada en un tipo de codificación digital denominado Modulación por densidad de impulsos (PDM). Si bien la tasa de muestreo es 64 veces la del CD-Audio, es necesario tener presente que se trata de una cuantificación de 1 bit (en lugar de los 16 empleados en el CD-Audio) y basado en técnicas de Noise Shaping (modelado de ruido). No es posible, por tanto, establecer comparaciones superficiales con el PCM de CD-Audio ó DVD-Audio (ambos PCM), ya que en este caso la relación señal-ruido no es constante respecto de la frecuencia (en CD-Audio el ruido de cuantificación es independiente de la frecuencia y sólo depende de los intervalos de amplitud empleados en el proceso de cuantificación, es decir, es de unos 98,09 dB constantes para los 16 bits de este estándar CD-Audio en todo el espectro útil). Un SACD puede registrar y reproducir señales con componentes de hasta 33 kHz con una relación señal-ruido equivalente al de un CD-Audio (aunque 33 kHz está casi una octava por encima del máximo audible y, por tanto, una ventaja sobre el CD-Audio de dudosa utilidad práctica) y mantener una relación señal-ruido de aproximadamente 122 dB para el espectro audible (un potencial, el equivalente aproximado a 20 bits, también de dudosa utilidad práctica como formato final de usuario considerando los medios y entornos de reproducción de este formato).

Entre las ventajas objetivas de estos formatos (DVD-Audio y SACD) se encuentra el potencial multicanal (registro de más de dos canales) y la capacidad para el empleo de técnicas de protección de copia (algo de extraordinario interés para las compañías discográficas y, probablemente, la auténtica justificación industrial y comercial de estos productos junto con el evidente beneficio resultante de la sustitución de todos los equipos reproductores y grabadores del mundo).

Se han publicado trabajos experimentales rigurosos que concluyen que no existen diferencias audibles entre los formatos denominados de alta resolución y el tradicional soporte de audio digital CD-Audio (PCM 16 bits;44100 muestras/s).

Asimismo, también se han probado indistinguibles entre sí los formatos de alta resolución SACD y DVD-Audio

David Moreno

17812731

EES

Control Clasico

Hasta bien entrado el siglo XX las únicas herramientas analíticas que poseía el especialista en control eran la utilización de ecuaciones diferenciales ordinarias junto con criterios algebraicos para determinar la posición de las raíces de la ecuación característica asociada. Aplicando el criterio de Routh y Hurwitz el ingeniero determinaba la estabilidad o no de los sistemas, pero para esto se debía obtener el modelo matemático operando mediante ecuaciones diferenciales. Esto suponía un arduo trabajo. Además ahí que destacar que el criterio de Routh y Hurwitz no ofrece información de cómo mejorar la estabilidad del sistema.
    Desde el punto de vista teórico, la Ingeniería de Control se empieza a consolidar cuando se produce el traslado y aplicación de los conocimientos adquiridos en los problemas de amplificación de señales a los problemas de control industrial.
    Estos estudios desembocan en la llamada Teoría Clásica de Control, en la cual se utililizaban como herramientas matemáticas los métodos de Transformación de Laplace y Fourier y la descripción externa de los sistemas.

    Dos trabajos de singular importancia son los desarrollados por Minorsky y Hazen. En el trabajo de Minorsky "Directional Stability of Automatic Steered Bodies" [Thaler 74] de 1922, se reconoce la no-linealidad de los sistemas y aplica la linealización mediante el desarrollo en serie de Taylor a sistemas no-lineales correspondientes al movimiento angular de un buque. Estudia la estabilidad y los efectos de los retrasos de la información sobre las salidas de los Sistemas.

Harry Nyquist.

Hazen en su publicación "Theory of Servomechanism" (1934) [Thaler 74], analiza el funcionamiento de los servomecánismos utilizando en su análisis entradas típicas de escalón y rampa. Aparte de proponer un marco conceptual, Hazen utiliza herramientas matemáticas como el cálculo operacional de Heaviside. En sus trabajos estudia el diseño de servomecanismos para posicionar ejes.

El desarrollo de las técnicas frecuenciales:

    El estudio de los servomecanismos y los reguladores en el dominio frecuencial se realiza al obtenerse resultados sobre el diseño de amplificadores de señal realimentados. Destacan los trabajos de Nyquist (1932), Black (1934) y Bode (1940).
    El suceso que realmente marca época en el desarrollo de los métodos de respuesta en frecuencia es la aparición de trabajo clásico de Nyquist sobre la estabilidad de amplificadores realimentados. Nyquist presenta en este trabajo "Regeneration Theory" [Thaler 74], su celebre criterio de estabilidad. Su investigación surge de los problemas que presentaba la atenuación y distorsión de la señal en la telefonía a grandes distancias.
    En 1915 la Bell System había finalizado un enlace telefónico experimental entre New York y San Francisco. Este enlace utilizó una línea aérea de cobre que pesaba 500 Kg/milla y fue cargado inductivamente para tener una frecuencia de corte de 1000 Hz. La atenuación de la señal a lo largo de las 3000 millas era de 60 dB, se redujo a 18dB utilizando seis amplificadores con una ganancia total de 42 dB.
    Sin embargo el cambio a operaciones mediante cable, planteó serios problemas técnicos. Debido a la escasa sección de los cables la atenuación era grande y se requerían muchos amplificadores repetidores. Esto suponía que la señal al pasar por múltiples etapas amplificadoras, cada una con sus no-linealidades, se iba distorsionando. Para mantener la inteligibilidad de la señal de audio transmitida en distancias intercontinentales se requería una linealidad efectiva del amplificador muy lejos de la que la tecnología era capaz de dar ( una distorsión del orden del 0.005%).
    Esta dificultad sólo se pudo vencer con el magnífico invento desarrollado por H. Black de los laboratorios Bell quien propuso la idea de un amplificador realimentado, en su trabajo "Stabilized Feedback Amplifiers" [Thaler 74] en 1934. El descubrimiento importante de Black fue que la elevada ganancia en un dispositivo amplificador no lineal y cuyos parámetros eran variables con el tiempo se podía negociar para conseguir una reducción en la distorsión no lineal de manera que el sistema se comportase como una ganancia lineal, estable y precisa. Black utiliza el criterio de Nyquist y llega a interpretar una serie de fenómenos que se producen en los sistemas realimentados.
    El mecanismo era simplemente utilizar componentes pasivos lineales apropiados de gran precisión en el lazo de realimentación de un amplificador no lineal de elevada ganancia. Hacia 1932 Black y su equipo podían construir amplificadores que funcionaban razonablemente bien. Sin embargo presentaban una tendencia a inestabilizarse. Algunos lo hacían cuando aumentaba la ganancia del lazo del amplificador realimentado, lo cual se podía esperar, pero otros manifestaban estas características cuando la ganancia se disminuía y esto si que era completamente inesperado.
    La situación era muy parecida a la asociada con los reguladores de velocidad del siglo XIX, que presentaban oscilaciones en la velocidad y cuya conducta no se podía explicar con las herramientas de análisis disponibles.
    Los amplificadores realimentados de la época podían contener del orden de 50 elementos independientes almacenadores de energía (tales como condensadores, autoinducciones, etc.). Su descripción en términos de un conjunto de ecuaciones diferenciales, como en el análisis clásico de los sistemas de control automático de origen mecánico era casi una tarea imposible a la vista de las rudimentarias facilidades disponibles en esos años para la solución por computador de tales ecuaciones.
    El famoso trabajo de Nyquist resolvió este misterio, abrió totalmente nuevas perspectivas en la teoría de los mecanismos realimentados y por lo tanto comenzó una nueva era en el Control Automático. Antes de 1932 el enfoque basado en las ecuaciones diferenciales había sido la gran herramienta del ingeniero del control; en la década que siguió a la contribución de Nyquist estas técnicas fueron casi completamente reemplazadas por métodos basados en la teoría de variable compleja los cuales fueron la consecuencia natural y directa de su nuevo planteamiento.
    La solución del problema de la estabilidad de un sistema realimentado propuesta por Nyquist se basaba en la forma de la respuesta en frecuencia de la ganancia en lazo abierto y esto era de un valor práctico inmenso ya que se formulaba en términos de una cantidad (la ganancia) que era directamente medible. Este enlace directo con medidas experimentales era un desarrollo completamente nuevo en trabajos dinámicos de tipo aplicado.
    La aplicación del criterio de estabilidad de Nyquist no dependía de la disponibilidad de un modelo del sistema en la forma de una ecuación diferencial. Más aún, el contorno del lugar de Nyquist daba una indicación inmediata de cómo se podía mejorar la conducta de un sistema realimentado que estaba muy poco amortiguado o que incluso era inestable simplemente modificando de una manera apropiada su característica de ganancia en lazo abierto en función de la frecuencia.
    Con la perspectiva de hoy día puede resultarnos demasiado fácil subestimar la magnitud de la invención de Black y el logro teórico de Nyquist, sin embargo las cosas parecían muy diferentes en su tiempo. La concesión de una patente a Black por su amplificador tardó más de 9 años. La oficina de patentes de EEUU citaba trabajos técnicos que decían que la salida de un amplificador no se podía conectar a la entrada y permanecer estable a menos que la ganancia del lazo fuese menor que uno. La oficina de patentes británica, en palabras de Black, trató la aplicación "como si se tratase de una máquina de movimiento continuo".
    El trabajo de Nyquist dejaba sin resolver como estaban relacionadas la amplitud y la fase en función de la frecuencia de la función de transferencia de la ganancia en lazo abierto. En otro de los trabajos clásicos que están en los fundamentos de la Teoría del Control, H. W. Bode realizó este análisis, extendiendo resultados previos de Lee y Wiener.
    En el trabajo de Bode "Relations Between Attenuation and phase in Feedback Amplifier Design" [Thaler 74] de 1940, se presenta la definición de margen de fase y margen de ganancia y la definición de los diagramas logarítmicos de Bode.
    Bode demostró que dada cualquier función de respuesta en frecuencia A (w) siendo A la amplitud de la ganancia en lazo abierto se le puede asociar una función F (w) siendo la fase mínima de dicha función de respuesta en frecuencia. De esta forma fue capaz de dar reglas para obtener la forma óptima de la ganancia del lazo en función de la frecuencia para un amplificador realimentado.
    En la industria de los procesos químicos la introducción del control por realimentación tendió en un principio a desarrollarse de forma aislada de los desarrollos mecánicos y eléctricos. En estos procesos la evolución de la variable controlada era tan lenta ( y lo sigue siendo) que el control se hacia mediante realimentación manual. Los primeros pasos que se dan para controlar estos procesos son la incorporación de instrumentos para supervisar la operación y registradores de plumilla. El desarrollo natural fue utilizar el movimiento de la plumilla del registrador para efectuar una acción de realimentación sobre las válvulas de control en la planta utilizando líneas de transmisión, amplificadores y transductores neumáticos.
    Los primeros controladores de temperatura, ofrecían una acción de control de tipo on-off por medio de un simple mecanismo conmutador o relé que pronto se reveló insuficiente para las exigencias planteadas en los procesos industriales, como por ejemplo en la industria láctea, el proceso de pasteurización de la leche. El siguiente desarrollo fueron los primeros reguladores con acción proporcional. En estos reguladores se manifestaba claramente el dilema de la automática: precisión frente estabilidad, si se desea un error estacionario pequeño, se debía aumentar la ganancia del regulador, o lo que es lo mismo disminuir la banda proporcional. Pero esto conllevaba que el proceso era sometido a fuertes oscilaciones en el transitorio. Y si se aumentaba la banda proporcional, disminuían las oscilaciones pero en caso de cambios en la carga aparecía un error estacionario apreciable. El máximo valor recomendado entonces para la banda proporcional era del cinco por ciento.

Foxboro Stabilog

Durante los años 30 se desarrollaron completamente estos reguladores neumáticos y se transfirió a este campo del control la idea de utilizar el término de acción integral que se venía empleando desde tiempo en los sistemas mecánicos. El primer regulador de temperatura con acción proporcional integral fue el Foxboro Stabilog patentado por Mason en 1931. En este regulador neumático, se incorporaba amplificación lineal, basada en el principio de la realimentación negativa (al igual que Black en los amplificadores de señal realimentados) y acción integral (reset). Hay que hacer constar que en un principio el Stabilog no tuvo mucho éxito comercial, debido entre otras cosas a su precio y a que no era comprendido su funcionamiento.
    A finales de los años 30 se introdujo la acción derivativa en estos controladores neumáticos dando lugar así al regulador PID de 3 términos (Proporcional, Integral y Derivativo).

    En 1942 Ziegler y Nichols, ingenieros de Taylor Instruments hicieron un estudio importante que condujo a fórmulas empíricas para sintonizar el regulador PID al proceso. Este estudio " Optimum Settings for Automatic Controllers" [Thaler 74] fue presentado en el "ASME Winter Anual Meeting". Los coeficientes de las distintas acciones proporcional, integral y derivada, se podían determinar de valores medidos experimentalmente del proceso que se deseaba controlar. La importancia de estas reglas de ajuste óptimo de controladores es enorme, siguen siendo vigentes y profusamente usadas en el ámbito del control de procesos industriales.

    El trabajo de Ziegler y Nichols es pionero en el desarrollo de la idea de control óptimo, aunque su criterio de optimización, que consiste en minimizar la superficie de error absoluto, no se puede tratar analíticamente.
    Un paso crucial en la transferencia de las técnicas utilizadas en el análisis de los amplificadores realimentados de los sistemas de telefonía a otras clases de sistemas fue realizada por H. Harris del MIT en su trabajo "The analisys and design of servomechanics" [Harris 42], en el cual introduce el uso de funciones de transferencia en el análisis de un sistema realimentado general. Esto permitió que un servomecanismo mecánico o un sistema de control de un proceso químico se representasen mediante diagramas de bloques y utilizasen las técnicas del dominio frecuencial.

Avances durante la Segunda Guerra Mundial:

    Un gran estímulo para el desarrollo de la técnica lo constituyen las guerras. La Segunda Guerra Mundial supuso un gran impulso al desarrollo teórico y mucho más al desarrollo práctico, dada la fuerte necesidad de sistemas de control que funcionarán como los servos de los radares y el posicionamiento de cañones.

    La Segunda Guerra Mundial creó una necesidad urgente para diseñar servomecanismos de altas prestaciones y condujo a grandes avances en la forma de construir sistemas de control realimentados. Las exigencias de la guerra enfocaron la atención sobre un problema importante: el llamado problema de control de tiro, proporcionando una cadena automática de órdenes entre la detección del blanco, el apuntamiento del arma y el disparo. Este problema tiene tres etapas:

1. Detección y seguimiento del blanco.
2. Predicción.
3. Colocación del cañón en posición de disparo.

En el comienzo de la guerra, aunque cada etapa requería algunos operadores, cada uno efectuando operaciones de seguimiento manual, había una considerable controversia en cuanto al valor operacional del control automático. Esto no es sorprendente ya que los predictores que estaban en uso tenían un error medio de 2-3 grados que eran del mismo orden que el error medio de un operador de batería bien entrenado que efectuase un seguimiento manual. Cuando la guerra progresó, aumentó la velocidad de los blancos, el personal entrenado comenzó a escasear y la aparición de los radares de seguimiento mejoró notablemente la capacidad de predicción: era pues el momento para que el control automático se hiciese notar.
    Con el objetivo fundamental de investigar y avanzar en los problemas de control del radar y de control de tiro, en marzo de 1942, de una manera informal se constituyó un grupo que posteriormente sería denominado el "Servo-Panel". Su principal función consistió en organizar encuentros, proporcionar información y servir de nexo de comunicación entre diferentes grupos de investigación.
    El gobierno americano al intentar desarrollar los sistemas de control automático de tiro se enfrentó con el problema de que aunque había una considerable experiencia en temas de control, ésta se encontraba dispersa entre muchas ramas de la ingeniería y faltaba el atributo unificador de una terminología en común. La reacción no se hizo esperar, con la formación en 1940 bajo la dirección del Dr. Vannevar Bush del Comité de Investigación de Defensa Nacional (NDRC).
    Entre los muchos comités del NDRC estaba el de Contro1 de Tiro que bajo el liderazgo de Warren Weaver coordinó el trabajo de los servicios, laboratorios industriales y universidades. El comité era responsable de la dirección de la investigación y de la circulación de informes reservados a los grupos apropiados.
    Los informes de Brown, Harris, Hall, Wiener, Phillips y Weis entre otros, fueron emitidos bajo los auspicios del NDRC y su contenido no fue conocido hasta finales de los años 40. Los siguientes trabajos han sido recogidos en la colección [Thaler 74]:

• Brown, G.S., and A.C. Hall: Dynamic Behavior and Design of Servomechanism. [Brown 46].
• Harris, H. JR: The frecuency Response of Automatic Control. [Harris 46].
• Hall, A.C: Aplication of Circuit Theory to the Design of Servomechanisms. [Hall 46].
• Weiss, H.K.: Constant Speed Control Theory. [Weiss 39].

Albores de la era espacial:
    Desde siempre los procesos más complejos comandados por computador han sido las aplicaciones de control de vuelo aerospaciales. Sin disponer de las tecnologías del control automático y los computadores, hubiera sido imposible que el hombre hubiera viajado al espacio. Los pioneros en esta aplicación fueron, además de otros, el ruso Constantin E. Tsiolkovsky (1857-1935), y el alemán Hermann Ganswindt (1856-1934) que criticaron a los astrónomos y matemáticos de la época que aseguraban que nunca jamás el ser humano poseería los medios para conseguir el control, la precisión y la velocidad necesaria para los vuelos en el espacio.
    Uno de los primeros trabajos en este campo se debe al alemán Hermann Orberth, que en su articulo "Die Rakete zu den Planetenräumen" (Cohetes en el espacio interplanetario) publicado en 1923, afirma que para poder efectuar vuelos en el espacio, el hombre debe acceder a técnicas de control automático mucho más sofisticadas que las disponibles entonces. En su trabajo de 1929 "Wege zur Raumschiffahrt" (Métodos para volar en el espacio) predice que el desarrollo de cohetes que dispongan de la suficiente fuerza propulsiva llevará largo tiempo y lo mismo sucederá con la necesaria tecnología de control automático. Asimismo un elemento fundamental en la navegación espacial será la precisión a la hora de maniobrar dado que las velocidades y las distancias implicadas son enormes (evidentemente astronómicas). Para colocar un satélite orbitando sobre la tierra es necesaria una velocidad mínima de 7,904 kilómetros por segundo. Para poder escapar de la tierra y navegar por el espacio interestelar es necesaria una velocidad mínima de 11,178 Km./seg. conocida como la velocidad de escape. Estas velocidades resultaban difíciles de imaginar para la época cuando un coche que circulaba a 100 Km./hora necesitaba cinco minutos para recorrer la distancia de ocho kilómetros. En otras palabras el cohete debía ir a una velocidad trescientas veces superior a la del coche.
    La falta de oxigeno en el espacio exterior conllevaba la imposibilidad de realizar la combustión en las turbinas de los cohetes. Robert H. Goddard publica en 1919 el primer trabajo "A Method of Reaching Extreme Altitudes" donde se describen cohetes cuya combustión se basaba en oxígeno líquido.
    Las mayores contribuciones al campo de la navegación espacial que posibilitaron que el hombre llegara a la luna en 1969 se realizaron en la base alemana de Peenemünde situada en la isla de Usedom del mar Báltico. La base fue construida entre 1936 y 1940. Las investigaciones y desarrollos realizados ahí constituyen uno de los capítulos más excitantes de la historia de la ciencia y la técnica.
    Las primeras unidades desarrolladas para el ejercito alemán, las denominadas A1 y A2, fueron destinadas principalmente al ensayo de sistemas de propulsión y control de cohetes. Una vez se dispuso de unidades en funcionamiento, enseguida se observo que el principal problema a solucionar era mantener el sistema estable. Según palabras de Willy Ley [Willy 44] los conocimientos que se poseían entonces sobre la estabilidad de los cohetes "se podían escribir en una postal, dejando alguna parte en blanco".
    Para el desarrollo del tercer ingenio, la A3, la marina Alemana envió a un reconocido especialista en el problema de estabilización y alineamiento de las torretas de tiro, el clásico problema del control de la segunda guerra mundial. Sin embargo este ingenio no se terminó de construir dado que el mecanismo de control se revelo inadecuado. Después de lo cual se desarrolla un nuevo sistema de control bastante avanzado para la época. Este sistema utilizaba giróscopos y acelerómetros como elementos sensores y disponía de servomotores eléctricos que podían efectuar pequeños y precisos movimientos, construidos en molibdeno, un material resistente a altas temperaturas, y encargados de controlar el suministro de gas a las turbinas del cohete.
    Para estudiar la dinámica del sistema se construyo un simulador mecánico, cuyo diseño se basó en los registros obtenidos de los vuelos de los primeros ensayos mediante radiotelemetría (otro desarrollo pionero). En este momento, Willy Ley hubiera necesitado al menos doce docenas de postales.
    Esta concentración de esfuerzos en resolver los problemas de control y estabilidad condujo al desarrollo de la unidad A4, que Goebbels después denominaría V2–V de Vergeltungswaffe (misil de justo castigo o pena merecida). Ya en las primeras pruebas efectuadas por este misil se le equipó con un potente equipo de radio con el objetivo de realizar medidas mediante telemetría y también disponía de un sistema de radiocontrol en fase de pruebas. En 1943 un misil A4 se estrelló en la zona de Borholm en Dinamarca, siendo recuperados sus restos por agentes de aquel país que se encargaron de enviar fotografías y dibujos a Inglaterra vía Estocolmo. En el verano de 1944 otro misil se estrelló al sur de Suecia, este fue entregado a los aliados, los cuales se alarmaron ante lo que se veía venir. Los aliados concluyeron erróneamente que estos ingenios estaban guiados por radio. Nada más lejos de la realidad, las pruebas realizadas por los investigadores alemanes afirmaban que les era imposible controlar los misiles con la debida precisión. Los ingenios eran alineados hacia su objetivo (primero fue París y después Londres), pero una vez habían sido lanzados era imposible modificar la trayectoria del misil.
    Durante las últimas fases de la segunda guerra mundial en la base de Peenemünde se llegaron a realizar proyectos sobre misiles transatlánticos (la unidad A6)…Incluso la Gestapo llego a arrestar a Wernher Von Braun por haber hablado abiertamente de la posibilidad de enviar objetos al espacio. Fue liberado gracias a la mediación del director de la base de Peenemünde, que explicó a altos oficiales de la Gestapo que las ideas de von Braun contribuían a la creación de nuevos y más potentes misiles de justo castigo. Cuando Alemania esta ya prácticamente derrotada, en mayo de 1945, la base de Peenemünde junto con todo su arsenal de cohetes cayó en manos de los aliados, y en Julio de ese mismo año trescientos vagones de tren cargados de cohetes A4 llegaron a una base de Nuevo Méjico. También se traslado allí todo el equipo científico alemán que continuó con su labor de investigación.
    El resto de la historia es de sobra conocida por todos nosotros. ¿Llegará alguno de nuestros hijos al Planeta Rojo?

Los años clásicos: 1945-1955:
    Desde el punto de vista del desarrollo de las técnicas de diseño de control automático, el principal resultado de este gran esfuerzo y experiencia fue extender rápidamente la utilización de las ideas de respuesta en frecuencia a todos los campos y producir así una teoría unificada y coherente para los sistemas realimentados con un único lazo.
    Coincidiendo con la segunda guerra mundial, el matemático Wiener desarrolla la teoría estocástica clásica, la cual tuvo su inicio en el estudio del problema de automatización de un cañón aéreo. En este trabajo se da un enfoque radicalmente distinto del estudio del problema del control, y supone el inicio de la conocida como teoría estocástica clásica. Las aportaciones de Wiener consisten en considerar la presencia de ruidos en las señales, e introduce también el concepto de control óptimo, cuyo objetivo consiste en minimizar un determinado criterio que define la calidad del control, en este caso minimiza la superficie de error cuadrático [Wiener 49].
    Wiener también establece la relación entre estos ingenios autogobernados y determinados procesos que suceden en los seres vivos. Todo ello, conduce a la formulación de lo que se denominaría cibernética en su trabajo "Cybernetics" de 1948 publicado por el MIT press [Wiener 48].
    A finales de la década de los cuarenta, surgen otras dos vías de desarrollo de la teoría de control: el Método del modelo de Truxal [Truxal 54] y el método del lugar de las Raíces, de Evans. Se presentan también aportaciones como la extensión de los métodos frecuenciales a sistemas no-lineales y a sistemas estocásticos.
    El método del modelo es una adaptación del método de Guillemin desarrollado inicialmente para el diseño de redes pasivas. Partiendo de las especificaciones deseadas se obtiene la función de transferencia que debe seguir el sistema de control. El cálculo de la función de transferencia del regulador se realiza fácilmente por medio de operaciones álgebraicas. Este método resultaba atractivo dado que no utiliza la técnica de prueba y error. Pero se manifestaban en él algunas dificultades prácticas como podían ser la complejidad de los correctores que se obtienen, que dejaban de tener la estructura clásica PID.
    Los trabajos de Evans:

"Graphical Analysis of Control Systems" [Evans 48].
"Control System Synthesis by Root Locus Method" [Evans 50].

ambos recogidos en [Thaler 74], constituyen la última gran contribución a la teoría clásica de control. En palabras del propio autor "el lugar de las raíces determina todas las raíces de la ecuación diferencial de un sistema de control por medio de una representación gráfica, la cual permite una síntesis rápida de la respuesta transitoria o frecuencial deseada".
    El método de Evans cuenta con el handicap de no poder abordar el análisis de sistemas con retraso puro y la difícil estimación de la respuesta temporal de sistemas con distribuciones dispersas de polos y ceros. A su favor, aporta un método gráfico de estimar la influencia de variaciones en los parámetros del sistema o del regulador sobre la estabilidad y el comportamiento dinámico de los sistemas.

David Moreno
17812731
EES

Negative feedback amplifier and Divided feedback

Negative feedback

 If we connect the output of an op-amp to its inverting input and apply a voltage signal to the noninverting input, we find that the output voltage of the op-amp closely follows that input voltage (I've neglected to draw in the power supply, +V/-V wires, and ground symbol for simplicity):

As V_in increases, V_out will increase in accordance with the differential gain. However, as V_out increases, that output voltage is fed back to the inverting input, thereby acting to decrease the voltage differential between inputs, which acts to bring the output down. What will happen for any given voltage input is that the op-amp will output a voltage very nearly equal to V_in, but just low enough so that there's enough voltage difference left between V_in and the (-) input to be amplified to generate the output voltage.

The circuit will quickly reach a point of stability (known as equilibrium in physics), where the output voltage is just the right amount to maintain the right amount of differential, which in turn produces the right amount of output voltage. Taking the op-amp's output voltage and coupling it to the inverting input is a technique known as negative feedback, and it is the key to having a self-stabilizing system (this is true not only of op-amps, but of any dynamic system in general). This stability gives the op-amp the capacity to work in its linear (active) mode, as opposed to merely being saturated fully "on" or "off" as it was when used as a comparator, with no feedback at all.
Because the op-amp's gain is so high, the voltage on the inverting input can be maintained almost equal to V_in. Let's say that our op-amp has a differential voltage gain of 200,000. If V_in equals 6 volts, the output voltage will be 5.999970000149999 volts. This creates just enough differential voltage (6 volts - 5.999970000149999 volts = 29.99985 µV) to cause 5.999970000149999 volts to be manifested at the output terminal, and the system holds there in balance. As you can see, 29.99985 µV is not a lot of differential, so for practical calculations, we can assume that the differential voltage between the two input wires is held by negative feedback exactly at 0 volts.



One great advantage to using an op-amp with negative feedback is that the actual voltage gain of the op-amp doesn't matter, so long as its very large. If the op-amp's differential gain were 250,000 instead of 200,000, all it would mean is that the output voltage would hold just a little closer to V_in (less differential voltage needed between inputs to generate the required output). In the circuit just illustrated, the output voltage would still be (for all practical purposes) equal to the non-inverting input voltage. Op-amp gains, therefore, do not have to be precisely set by the factory in order for the circuit designer to build an amplifier circuit with precise gain. Negative feedback makes the system self-correcting. The above circuit as a whole will simply follow the input voltage with a stable gain of 1.
Going back to our differential amplifier model, we can think of the operational amplifier as being a variable voltage source controlled by an extremely sensitive null detector, the kind of meter movement or other sensitive measurement device used in bridge circuits to detect a condition of balance (zero volts). The "potentiometer" inside the op-amp creating the variable voltage will move to whatever position it must to "balance" the inverting and noninverting input voltages so that the "null detector" has zero voltage across it:


As the "potentiometer" will move to provide an output voltage necessary to satisfy the "null detector" at an "indication" of zero volts, the output voltage becomes equal to the input voltage: in this case, 6 volts. If the input voltage changes at all, the "potentiometer" inside the op-amp will change position to hold the "null detector" in balance (indicating zero volts), resulting in an output voltage approximately equal to the input voltage at all times.
This will hold true within the range of voltages that the op-amp can output. With a power supply of +15V/-15V, and an ideal amplifier that can swing its output voltage just as far, it will faithfully "follow" the input voltage between the limits of +15 volts and -15 volts. For this reason, the above circuit is known as a voltage follower. Like its one-transistor counterpart, the common-collector ("emitter-follower") amplifier, it has a voltage gain of 1, a high input impedance, a low output impedance, and a high current gain. Voltage followers are also known as voltage buffers, and are used to boost the current-sourcing ability of voltage signals too weak (too high of source impedance) to directly drive a load. The op-amp model shown in the last illustration depicts how the output voltage is essentially isolated from the input voltage, so that current on the output pin is not supplied by the input voltage source at all, but rather from the power supply powering the op-amp.

It should be mentioned that many op-amps cannot swing their output voltages exactly to +V/-V power supply rail voltages. The model 741 is one of those that cannot: when saturated, its output voltage peaks within about one volt of the +V power supply voltage and within about 2 volts of the -V power supply voltage. Therefore, with a split power supply of +15/-15 volts, a 741 op-amp's output may go as high as +14 volts or as low as -13 volts (approximately), but no further. This is due to its bipolar transistor design. These two voltage limits are known as the positive saturation voltage and negative saturation voltage, respectively. Other op-amps, such as the model 3130 with field-effect transistors in the final output stage, have the ability to swing their output voltages within millivolts of either power supply rail voltage. Consequently, their positive and negative saturation voltages are practically equal to the supply voltages.

• REVIEW:
• Connecting the output of an op-amp to its inverting (-) input is called negative feedback. This term can be broadly applied to any dynamic system where the output signal is "fed back" to the input somehow so as to reach a point of equilibrium (balance).
• When the output of an op-amp is directly connected to its inverting (-) input, a voltage follower will be created. Whatever signal voltage is impressed upon the noninverting (+) input will be seen on the output.
• An op-amp with negative feedback will try to drive its output voltage to whatever level necessary so that the differential voltage between the two inputs is practically zero. The higher the op-amp differential gain, the closer that differential voltage will be to zero.
• Some op-amps cannot produce an output voltage equal to their supply voltage when saturated. The model 741 is one of these. The upper and lower limits of an op-amp's output voltage swing are known as positive saturation voltage and negative saturation voltage, respectively.

Divided feedback

If we add a voltage divider to the negative feedback wiring so that only a fraction of the output voltage is fed back to the inverting input instead of the full amount, the output voltage will be a multiple of the input voltage (please bear in mind that the power supply connections to the op-amp have been omitted once again for simplicity's sake):

If R₁ and R₂ are both equal and V_in is 6 volts, the op-amp will output whatever voltage is needed to drop 6 volts across R₁ (to make the inverting input voltage equal to 6 volts, as well, keeping the voltage difference between the two inputs equal to zero). With the 2:1 voltage divider of R₁ and R₂, this will take 12 volts at the output of the op-amp to accomplish.
Another way of analyzing this circuit is to start by calculating the magnitude and direction of current through R₁, knowing the voltage on either side (and therefore, by subtraction, the voltage across R₁), and R₁'s resistance. Since the left-hand side of R₁ is connected to ground (0 volts) and the right-hand side is at a potential of 6 volts (due to the negative feedback holding that point equal to V_in), we can see that we have 6 volts across R₁. This gives us 6 mA of current through R₁ from left to right. Because we know that both inputs of the op-amp have extremely high impedance, we can safely assume they won't add or subtract any current through the divider. In other words, we can treat R₁ and R₂ as being in series with each other: all of the electrons flowing through R₁ must flow through R₂. Knowing the current through R₂ and the resistance of R₂, we can calculate the voltage across R₂ (6 volts), and its polarity. Counting up voltages from ground (0 volts) to the right-hand side of R₂, we arrive at 12 volts on the output.
Upon examining the last illustration, one might wonder, "where does that 6 mA of current go?" The last illustration doesn't show the entire current path, but in reality it comes from the negative side of the DC power supply, through ground, through R₁, through R₂, through the output pin of the op-amp, and then back to the positive side of the DC power supply through the output transistor(s) of the op-amp. Using the null detector/potentiometer model of the op-amp, the current path looks like this:

The 6 volt signal source does not have to supply any current for the circuit: it merely commands the op-amp to balance voltage between the inverting (-) and noninverting (+) input pins, and in so doing produce an output voltage that is twice the input due to the dividing effect of the two 1 kΩ resistors.
We can change the voltage gain of this circuit, overall, just by adjusting the values of R₁ and R₂ (changing the ratio of output voltage that is fed back to the inverting input). Gain can be calculated by the following formula:

Note that the voltage gain for this design of amplifier circuit can never be less than 1. If we were to lower R₂ to a value of zero ohms, our circuit would be essentially identical to the voltage follower, with the output directly connected to the inverting input. Since the voltage follower has a gain of 1, this sets the lower gain limit of the noninverting amplifier. However, the gain can be increased far beyond 1, by increasing R₂ in proportion to R₁.

Also note that the polarity of the output matches that of the input, just as with a voltage follower. A positive input voltage results in a positive output voltage, and vice versa (with respect to ground). For this reason, this circuit is referred to as a noninverting amplifier.
Just as with the voltage follower, we see that the differential gain of the op-amp is irrelevant, so long as its very high. The voltages and currents in this circuit would hardly change at all if the op-amp's voltage gain were 250,000 instead of 200,000. This stands as a stark contrast to single-transistor amplifier circuit designs, where the Beta of the individual transistor greatly influenced the overall gains of the amplifier. With negative feedback, we have a self-correcting system that amplifies voltage according to the ratios set by the feedback resistors, not the gains internal to the op-amp.
Let's see what happens if we retain negative feedback through a voltage divider, but apply the input voltage at a different location:


By grounding the noninverting input, the negative feedback from the output seeks to hold the inverting input's voltage at 0 volts, as well. For this reason, the inverting input is referred to in this circuit as a virtual ground, being held at ground potential (0 volts) by the feedback, yet not directly connected to (electrically common with) ground. The input voltage this time is applied to the left-hand end of the voltage divider (R₁ = R₂ = 1 kΩ again), so the output voltage must swing to -6 volts in order to balance the middle at ground potential (0 volts). Using the same techniques as with the noninverting amplifier, we can analyze this circuit's operation by determining current magnitudes and directions, starting with R₁, and continuing on to determining the output voltage.
We can change the overall voltage gain of this circuit, overall, just by adjusting the values of R₁ and R₂ (changing the ratio of output voltage that is fed back to the inverting input). Gain can be calculated by the following formula:


Note that this circuit's voltage gain can be less than 1, depending solely on the ratio of R₂ to R₁. Also note that the output voltage is always the opposite polarity of the input voltage. A positive input voltage results in a negative output voltage, and vice versa (with respect to ground). For this reason, this circuit is referred to as an inverting amplifier. Sometimes, the gain formula contains a negative sign (before the R₂/R₁ fraction) to reflect this reversal of polarities.
These two amplifier circuits we've just investigated serve the purpose of multiplying or dividing the magnitude of the input voltage signal. This is exactly how the mathematical operations of multiplication and division are typically handled in analog computer circuitry.

• REVIEW:
• By connecting the inverting (-) input of an op-amp directly to the output, we get negative feedback, which gives us a voltage follower circuit. By connecting that negative feedback through a resistive voltage divider (feeding back a fraction of the output voltage to the inverting input), the output voltage becomes a multiple of the input voltage.
• A negative-feedback op-amp circuit with the input signal going to the noninverting (+) input is called a noninverting amplifier. The output voltage will be the same polarity as the input. Voltage gain is given by the following equation: A_V = (R₂/R₁) + 1
• A negative-feedback op-amp circuit with the input signal going to the "bottom" of the resistive voltage divider, with the noninverting (+) input grounded, is called an inverting amplifier. Its output voltage will be the opposite polarity of the input. Voltage gain is given by the following equation: A_V = -R₂/R₁

David Moreno
17812731
EES

Sensor CMOS

Uno de los primeros CMOS-APS, desarrollado por la Nasa

Un Active Pixel Sensor es un sensor que detecta la luz basado en tecnología CMOS y por ello más conocido como Sensor CMOS. Gracias a la tecnología CMOS es posible integrar más funciones en un chip sensor, como por ejemplo control de luminosidad, corrector de contraste, o un conversor analógico-digital.
Contenido


Principio de funcionamiento

El APS, al igual que el el sensor CCD, se basa en el efecto fotoeléctrico. Está formado por numerosos fotositos, uno para cada píxel, que producen una corriente eléctrica que varía en función de la intensidad de luz recibida. En el CMOS, a diferencia del CCD se incorpora un amplificador de la señal eléctrica en cada fotosito y es común incluir el conversor digital en el propio chip. En un CCD se tiene que enviar la señal eléctrica producida por cada fotosito al exterior y desde allí se amplifica.

La ventaja es que la electrónica puede leer directamente la señal de cada píxel con lo que se soluciona el problema conocido como blooming, por el que la recepción de una gran intensidad lumínica en un punto influye en los píxeles adyacentes (un brillo fuerte produce líneas blancas en la imagen). La desventaja es que entre los receptores de luz (fotositos) se encuentra mucha electrónica que no es sensible a la luz, lo que implica que no pueda captar tanta luz en una misma superficie del chip. La solución al problema vino no sólo por una mayor densidad de integración, por lo que la electrónica no sensible se reducía en tamaño, sino por la aplicación de microlentes que a modo de lupa concentran la luz de cada celda en su fotosito.

Filtro Bayer utilizado en numerosas cámaras digitales.

Debido a que no se podía alcanzar la densidad de integración necesaria para competir con el CCD, esta tecnología careció de importancia durante los años 70, 80 y mitad de los 90.

Al igual que ocurre con el CCD, los fotositos captan únicamente intensidad lumínica, para lo que se suele emplear un filtro conocido como máscara de Bayer para la distinción de los colores. Mediante esta máscara unos fotositos tienen un filtro para recoger solo la luz roja, otros para la verde y otros para el azul.

En comparación otros sensores

Según los fabricantes de CCDs, los sensores CMOS tienen un elevado ruido de patrón fijo (FPN, en inglés, ruido que no varia con el tiempo y que se ve como un fondo fijo en la imagen) pero sus defensores indican que tienen un bajo consumo de energía (lo cual redunda en una mayor autonomía de la cámara). Al parecer, el 'ruido' mencionado se debe a que los sensores CMOS convencionales tienen un amplificador por separado en cada píxel y estos amplificadores normalmente no serán uniformes por todo el chip y la desigualdad residual será la que genere el ruido. Por el contrario, todos los píxeles de un CCD se activan a través de una etapa común del amplificador, de modo que se evita este problema.

Por otro lado, los fabricantes de CMOS argumentan que los sensores CCD necesitan una electrónica externa compleja que eleva el coste. En la práctica, es posible encontrar implementaciones de alta calidad de ambas tecnologías.

Finalmente, se achaca a los sensores CMOS una escasa sensibilidad a la luz ultravioleta e infrarroja.

Las ventajas y desventajas

Dependen en parte de cada dispositivo puesto que es posible encontrar sensores CCD con características similares a los CMOS y viceversa. Sin embargo, es posible listar las características típicas como siguen:

Ventajas

* Consumo eléctrico muy inferior
* Económico (necesita pocos componentes externos)
* Lectura simultánea de mayor número de pixeles
* El conversor digital puede estar integrado en el mismo chip
* Escaso Blooming ("Smear") o inexistente
* Mayor flexibilidad en la lectura (Previsualización más rápida, vídeo,...)
* Los pixeles pueden ser expuestos y leídos simultáneamente
* Otras topologías posibles (el sensor SuperCCD de Fujifilm emplea una construcción en forma de panel (octogonal) para los píxeles)
* Distintos tipos de píxeles (según tamaño y sensibilidad) combinables
* Muy alta frecuencia de imagen en comparación a un CCD del mismo tamaño

Desventajas

* Menor superficie receptora de la luz por píxel
* Menor uniformidad de los píxeles (mayor ruido de patrón fijo-FPN)

Aplicaciones

Debido a su bajo coste, el APS comenzó a emplearse masivamente en webcams y en las cámaras de los teléfonos móviles. Sin embargo, hoy día también se utiliza en cámaras DSLR de Canon, Nikon, Pentax Sony y Sigma, pues no sólo superan en luminosidad a los sensores CCD, sino que también producen menos ruido.

En el campo de las videocámaras siguen usándose en 2005 sensores CCD, con la excepción de las cámaras de alta definición Sony HDR-HC1, HDR-HC3 y la Sony FX7 (que utiliza 3 sensores CMOS). También se emplea el APS en cámaras industriales.
David Moreno
17812731
EES

Root Locus Analysis of Control Systems

Introduction

A root loci plot is simply a plot of the s zero values and the s poles on a graph with real and imaginary coordinates. The root locus is a curve of the location of the poles of a transfer function as some parameter (generally the gain K) is varied. The number of zeros does not exceed the number of poles.

The locus of the roots of the characteristic equation of the closed loop system as the gain varies from zero to infinity gives the name of the method. Such a plot shows clearly the contribution of each open loop pole or zero to the locations of the closed loop poles. This method is very powerful graphical technique for investigating the effects of the variation of a system parameter on the locations of the closed loop poles. General rules for constructing the root locus exist and if the designer follows them, sketching of the root loci becomes a simple matter.

The closed loop poles are the roots of the characteristic equation of the system. From the design viewpoint, in some systems simple gain adjustment can move the closed loop poles to the desired locations. Root loci are completed to select the best parameter value for stability. A normal interpretation of improving stability is when the real part of a pole is further left of the imaginary axis.

Open and Closed Loop Transfer Functions

A control system is often developed into an equation as shown below

D(s) = (s - p ₁).(s -p ₂).. (s - p _n) is the characteristic equation for the system ...

m ≤ n
F(s) = 0 when s = z ₁,z ₂... z _m..These values of s are called zeros
F(s) = infinity when s = p ₁, p ₂....p _n...These values of s are called poles..

Below is shown a root loci plot with a zero of -2 and poles at (-2 ± 2 j ω ).
In practice one complex pole /zero always comes with a second one mirrored around the real axis

The Transfer function F(s) can also be written in polar form using vectors (modulus-argument ).

The complex numbers in polar form have the following elementary properties..

|z ₁ .z ₂ | = |z ₁ |.|z ₂ |.......&......|z ₁ / z ₂ | = |z ₁ | / |z ₂ |

A typical feedback system is shown below

The open-loop transfer function between the forcing input R(s) and the measured output Y₁(s) =

T1(s) = K.G(s)H(s)

Let G(s) = Q(s)/ P(s) and H(s) = W(s) /V(s) that is G(s)H(s) = Q(s).W(s) / P(s).V(s)
Then the open loop poles are the roots of the characteristic equation for the open loop transfer function.

P(s).V(s)= 0

The open loop zeros are roots of the W(s) Q(s)

W(s).Q(s)= 0

The closed-loop transfer function =

K is the value of the open loop gain .
1 + KG(s)H(s) is the characteristic equation

The closed loop poles ( when T(s) = infinity ) must satisfy

K.G(s).H(s) = -1

This is can be interpreted using vectors

Again letting G(s) = Q(s)/ P(s) and H(s) = W(s) /V(s) that is G(s)H(s) = Q(s).W(s) / P(s).V(s).
Then K(G(s).H(s) = -1 can be rewritten as K.Q(s).W(s) = - P(s)V(s) ....Therefore
The closed loop poles are roots of the characteristic equation for the closed loop system =

P(s).V(s) + K.Q(s)W(s) = 0

Generally the location of these roots in the s plane changes as the gain factor K is altered. The root locus is the locus of these roots as a function of K.

For K = zero the roots of the above equation are roots of the P(s).V(s) which are the same as the poles of the open loop transfer function G(s)H(s). If K becomes very large the roots approoach those of Q(s).W(s) which are the open-loops zeros. Therefore as K is increased for zero to infinity the loci of the closed-loop poles originate from the open-loop poles and terminate at the open loop zeros. If there is less zeros than poles then the some root loci originate at open-loop poles and increase towards infinity as K increases towards infinity.

Example 1

Consider system as diagram above with G(s) = 1/ s(s+2) , H(s) = 1
( P(s) = 1, V(s) = s(s+2), Q(s) =1, W(s) = 1)

The closed loop characteristic equation = s ² + 2s + K = 0

The roots of the characteristic equation

When K = 0 , the poles at s = 0, and s = -2
When K = 1, the pole is at s = -1

The relevant root locus is shown below

Example 2

Consider system as diagram above with G(s) = 2s / ( s ²+1) , H(s) = 1
P(s) = (s² + 1) , V(s) = 1 , Q(s) = 2s , W(s) = 1 )

The closed loop characteristic equation = P(s).V(s) + K.Q(s)W(s) = 0
therefore s ² + 2Ks + 1 = 0

The roots of the characteristic equation

When K = 0 , the poles at s = + j , and s = - j
When K = 1, the pole is at s = -1

The relevant root locus is shown below

The system has the best stability point at K = -1, at values below this root loci moves towards the instability boundary.

Rules for Constructing Root Loci

These rules are listed with minimum clarification..For more details refer to reference links and reference texts.. The rules below are simple rules which obviate the need to completely solve the characteristic equation allowing the methods to be used for relatively complex systems. The rules are based on those devised by R.Evans in an important paper in 1948. They are therefore known as Evans Rules. The rules only relate to positive changes in K. For negative values of K a set of similar rules are used.

The closed loop poles are roots of the characteristic equation for the closed loop system =

P(s).V(s) + K.Q(s)W(s) = 0

This can be more clearly expressed as

Poles(s) + K Zeros(s) = 0

1) Number of root loci.(branches)

The number of root loci is equal to the order of the characteristic equation .
This is, for rational systems, the same order as the characteristic equation for the open loop transfer function i.e. P(s).V(s)

2) Symmetry of loci

The roots of the characteristic equation having real coefficient are symmetrical with respect to the real axis

3) Poles

The poles of lie on the root loci and correspond to K = 0. i.e roots of P(s).V(s) = 0

4) Zeros

The zeros lie on the root loci and correspond to K = infinity. i.e roots of Q(s).W(s) = 0 .
If there are "t" more poles than zeros then "t" loci will become infinite as K approaches infinity

5) Asymptotes of root loci

If F(s) has "t" more poles than zeros, the root loci are asymptotic to "t" straight lines making angles..

(2 b + 1)π / t, b = 0,1,2,...t-1,

with the real axis . The root loci approach ssymptotes when K -> infinity..

Asymptote angle with real axis for Poles - Zeros = t = 1 - 4

t= 1...Angle = π

t = 2...Angles = π / 2 ,3 π /2

t = 3 ...Angles = π/ 3 , π, (5 /3) π

t = 4...Angles = π / 4 , 3 π /4 , 5 π/ 4, 7 π /4

6) Point of Intersection of asymptotes

Asymptotes intersect on the real axis at a point with abscissa

s_o = (1/t). [(p₁ + p₂ + ...p_n) - (z₁ + z₂ + ...z_m)]

p's and z's are respective poles and zeros ofthe characteristic equation.

7) Root loci on real axis

If F(s) has one or more real poles or zeros ,then the segment of the real axis having an odd number of real poles and zeros to its right will be occupied by a root locus.

8) Singularity/Breakaway Points

Singular points ( α_b ) indicate the presence of multiple characteristic roots, and occur at those values of s which for which dK/ds = 0..These points can also be obtained by solving the equation. (- p_i and - z_i are the poles and zeros respectively)

(-p_i and -z_i are the poles and zeros respectively)

Singularity /breakaway points ( α_b ) occur where two or more branches of the root-locus depart from or arrive at the real axis.

9) Intersection of root loci with imaginary axis

The intersections of root loci with the imaginary axis can be located by calculating the values of K which result in the imaginary characteristic roots.

10) Slopes of root loci at complex poles and zeros

The slope of a root loci at a complex pole or zero of F(s) can be found at at point in the neighborhood of the pole or zero using the method shown below

11) Calculation of K on the root loci.

The absolute magnitude of the value of K corresponding to any point s_o on a root locus can be found by measuring the lengths of the vectors drawn to s_o from the poles and zeros of F(s) and then evaluating

Examples of using Evans rules


Example 3)

Consider the system with the open loop transfer function ( K > 0 & H(s) = 1 )

H(s)G(s) = K / (s² + 3s + 2 ) = K / (s+1) (s+2)

Solving the Characteristic equation Assuming negative feedback the characteristic equation = s2 + 3s + 2 + K = 0 The Roots = [-3 ± √(9 - 4(2 + K)) ] / 2 = -1.5 ± √(0.25 -K ) The plot below is simply obtained by establishing the roots for values of K from 0 to infinity.. K = 0 ....s= -1, -2 K = 0.25 ....s= -1.5 K ->¥....s -> ± j¥

Using Evans rules System characteristic equation = 1 + K /(s+1)(s+2) = 0.... therefore (s+1)(s+2) + K = 0 1) The order of the characteristic equation = 2 therefore 2 poles. 2) The roots are symmetrical wrt the real axis 3) Poles correspond to K = 0, pole at -2, & - 1 4) Poles correspond to K = infinity no zeros 5) The asymptotes angles... 2 more poles than zeros therefore angles are π /2 & 3π /2 6) Point of intersection of the asymptotes with the real axis = (sum of poles - sum of zeros) / t = -1.5 7) The root loci lie to the left of the odd pole. (first pole) 8) Location of a singularity is at dK/ds = 0 = -1.5. 9), 10) & 11) Not necessary. The plot below can easily be obtained..

---

Example 4).

System has an open loop transfer function

K.G(s).H(s) = K (s + 1) / ( s² .(s + 9))

closed loop characteristic equation i ..1 + K.G(s)H(s) = 0 therefore

s³ + 9s² + K(s) + K = 0

Completing Evans Method.

1) There are three roots.

2) The characteristic equation has real coefficients so the loci is symmetrical about the real axis.

3) When K = 0 there is a double pole at s = 0 (singular point) and also a pole at s = -9

4) When K = infinity there are loci at s = -1 (zero) and s = infinity.

5) The asymptotes angles... 2 more poles than zeros therefore angles are π /2 & 3 π /2

6) The location of the asymptotes intersect the real axis is calculated by .. ( 0 - 9 - (-1) ) /2 = 4

7) Loci are to the left of odd poles/zeros's i.e left of -1 (between -1 & -9)

8) The break point (singularity point on the real axis ) is obtained by determining the value of s which satisfies the equation dK/ds = 0..
Solving the closed loop characteristic equation for K =

K = - (s³ + 9s²) / (s+1)

Differentiating (using du/dv = (vdu-udv)/v² )

(s³ + 9s²)-(s+1)(3s² +18s) = 0

...Therefore.. -2s³ - 12s² -18s = 0 ... and.. -2s(s+3)² - 0 Three solutions for s are at s = 0, s = -3 These are associated with a positive value of K when substituted into F(s).

9) A Routh array is constructed to determine the imaginary axis crossing points.

		Col 1	Col 2	Col 3
Row 0	s 3	1	K	0
Row 1	s 2	9	K	0
Row 2	s 1	K	0
Row 3	s 0	K

There is no sign change in column 1 for positive values of K so there is locus does not enter the right hand side of imaginary axis..

10 ) Rule not needed for this example..

The root locus plot is produced for this system as shown below...

Closed Loop Transient Response

The transient response of a closed-loop system is closely related to the location of the closed loop poles.

Many control systems can be represented by the general second order differential equation..

The coefficient (assumed positive) ω_n is the undamped natural frequency and ζ is the damping ratio.

If ζ > 1 Then both poles are negative and real If ζ = 1 Then both poles are equal,negative and real ( s = - ω n) If 0 < ζ < 1 The poles are complex conjugates with negative real parts. s = -ζω n ± j ω n.Sqrt( 1 - ζ 2 ) If ζ = 0 Then both poles are imaginary and complex conjugate s = ± j ωn If ζ <0>

The results of this equation can be shown on a s plane plot as below..

David Moreno

17812731

EES