Root locus

David Moreno
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Seccion 2
http://feedbackamplifiers.blogspot.com/2010/05/root-locus.html


En teoría de control, el lugar de raíces o lugar de las raíces (del inglés, root locus) es el lugar geométrico de los polos y ceros de una función de transferencia a medida que se varía la ganancia del sistema K en un determinado intervalo.

El método del lugar de raíces permite determinar la posición de los polos de la función de transferencia a lazo cerrado para un determinado valor de ganancia K a partir de la función de transferencia a lazo abierto.

El lugar de raíces es una herramienta útil para analizar sistemas dinámicos lineales tipo SISO (single input single output) y su estabilidad (BIBO stability). (Recuérdese que un sistema es estable si todos sus polos se encuentran en el semiplano izquierdo del plano s (en el caso de sistemas continuos) o dentro del círculo unitario del plano z (para sistemas discretos)

Las reglas que se detallan a continuación permiten graficar el lugar de raíces sin resolver la ecuación caracterísitica, permitiendo que el método sea aplicable a sistemas complejos. Se basan en el desarrollo de R. Evans, publicado en 1948, y por consiguiente se las conoce como Reglas de Evans.

Las siguientes reglas permiten graficar el lugar de raíces para valores de k positivos. Para valores negativos de k se utiliza un conjunto de reglas similar.

En lo que sigue, nos referimos a la función de transferencia a lazo abierto.

   1. Número de ramas. El número de ramas del lugar de raíces es igual al orden de la ecuación característica de la función de transferencia a lazo cerrado. Para sistemas racionales, esto equivale al orden de la ecuación característica de la función de transferencia a lazo abierto, es decir, el denominador de la función de transferencia a lazo abierto.
   2. Simetría. Dado que la ecuación característica es de coeficientes reales, las raíces complejas deben ser complejas conjugadas. Por tanto, el lugar de raíces es simétrico respecto al eje real.
   3. Polos de lazo abierto. Los polos de la función de transferencia a lazo abierto pertenecen al lugar de raíces y corresponden a k = 0.
   4. Ceros de lazo abierto. Los ceros de la función de transferencia a lazo abierto pertenecen al lugar de raíces y corresponden a k = \infty . Si hay t polos más que ceros, entonces t posiciones se harán infinitas a medida que k se aproxime a infinito.
   5. Asíntotas. Si la función de transferencia de lazo cerrado tiene t polos más que ceros, entonces el lugar de raíces tiene t asíntotas equiespaciadas, formando entre ellas un ángulo
   6. Lugar de raíces sobre el eje real. Si la función de transferencia a lazo abierto tiene más de un polo o cero reales, entonces el segmento del eje real que tiene un número impar de polos y ceros reales a su derecha forma parte del lugar de raíces.