Tutorial sobre Lugar Geometrico de las Raices

Polos de lazo cerrado

El Lugar Geometrico de las Raices (L.G.R.) de una funcion de lazo cerrado H(s) representa todas las posiciones posibles de los polos de lazo cerrado de un sistema con ganancia proporcional k y realimentacion unitaria:


La funcion de transferencia de lazo cerrado sera asi:



De este modo, los polos de lazo cerrado del sistema son aquellos que verifican la ecuacion1 + K H(s) = 0.
Si se expresa H(s) = b(s)/a(s), la ecuacion anterior tendra la forma:



Sea n el orden de a(s) y m el orden de b(s).
Seran considerados todos los valores positivos de k. En el limite, a mendida que k tiende a cero, los polos del sistema de lazo cerrado son a(s) = 0, es decir, los polos de H(s) (polos de lazo abierto). Cuando k tiende a infinito, los polos de lazo cerrado verifican b(s) = 0, es decir, son los ceros de H(s) (ceros de lazo cerrado).
Independientemente del valor de k seleccionado, el sistema de lazo cerrado debera poseer siempre n polos, donde n es el numero de polos de H(s). El L.G.R. debera tener n ramas, y cada una de ellas se inicia en un polo de H(s) y termina en un cero de H(s). Si H(s) posee mayor cantidad de polos que ceros (como a menudo es el caso), m < n y decimos asi que H(s) posee ceros en el infinito. En este caso, el limite de H(s) cuando s tiende a infinito es igual a cero. El numero de ceros en el infinito es igual a n-m, la diferencia entre los numeros de polos y ceros, y corresponde al numero de ramas del L.G.R. que van hacia el infinito (asintotas)
Considerando que el L.G.R. indica en realidad todas las posibles ubicaciones de los polos de lazo cerrado, del mismo podriamos seleccionar una ganancia tal de modo que nuestro sistema de lazo cerrado se comporte del modo deseado. Si alguno de los polos seleccionados se encuentra en el semiplano derecho, el sistema sera inestable. Los polos que se encuentran mas cercanos al eje imaginario poseen gran influencia en la respuesta de lazo cerrado, de modo tal que, aun cuando un sistema posea 3 o 4 polos, el mismo podria comportarse como un sistema de primer o segundo orden, dependiendo de la ubicacion de los polos (o el polo) dominante.

Grafico del L.G.R. de una funcion de transferencia

Considerese un sistema de lazo abierto cuya funcion de transferencia sea la siguiente:



Cual es el procedimiento para disenhar un controlador de realimentacion por el metodo de L.G.R.? Como ejemplo, establezcamos como criterio un sobrepico de 5% un tiempo de crecimiento de 1 segundo. Crearemos un archivo llamado "lgr.sce". En este archivo, introduciremos la funcion de transferencia y el comando de graficacion de L.G.R. como se muestra:

// Definicion del sistema
s=poly(0,"s");
num=poly([7 1],"s","coeff");
fac1=poly([5 1],"s","coeff");
fac2=poly([15 1],"s","coeff");
fac3=poly([20 1],"s","coeff");
fac4=poly([0 1],"s","coeff");
den=fac1*fac2*fac3*fac4;
[sistema1]=syslin('c',num/den);
evans(sistema1,10000);

Nota: el valor 10000, que indica la maxima ganancia a ser considerada para el grafico, es particularmente importante, ya que valores pequenhos pueden llevar a un grafico no ilustrativo. Se aconseja probar.

Seleccionando un valor de K a partir del L.G.R.
El grafico mostrado mas arriba muestra todas las posibles ubicaciones de los polos de lazo cerrado para un controlado puramente proporciona. Obviamente, no todos estos posibles polos satisfaran nuestros requerimientos de disenho.
Para determinar cual es la region aceptable, puede usarse el comando sgrid(Zeta,Wn) 
para graficar lineas de tasa de amortiguamiento constante y frecuencia natural constante.  Sus 2 argumentos son la tasa de amortiguamiento (Zeta) y la frecuencia natural (Wn). 
Para nuestro problema, deseamos un sobrepico menor que  5% (que es lo mismo que decir una tasa de amortiguamiento mayor que  0.7) y un tiempo de crecimiento de 1 segundo (que quiere decir una frecuencia natural mayor que 1.8). Por lo tanto, el comando a ser agragaod en nuestro archivo sera:


sgrid(0.7,1.8);






En el grafico, las lineas a aproximadamente 45 grados indican ubicaciones de polos donde  Zeta = 0.7; entre ambas lineas, los polos tendran  Zeta > 0.7 y fuera de ellas < 0.7.  El semicirculo indica ubicaciones de polos con una frecuencia natural Wn = 1.8; 
 siendo dentro del circulo Wn < 1.8 y fuera del mismo Wn > 1.8.  

Volviendo al problema original, para hacer que el sobrepico sea menor que  5%, los polos deberan estar ubicados entre ambas lineas, y para hacer que el tiempo de crecimiento sea menor que 1 segundo, los mismos deberan estar ubicados fuera del semicirculo. De este modo podemos identificar el area donde los polos poseen un comportamiento aceptable. Como todos los puntos de esta area se encuentran en el semiplano izquierdo, el sistema de lazo cerrado sera estable.

Del dibujo podemos ver que parte del L.G.R. se encuentra dentro de la region aceptable. Entonces, para este caso, solo es necesario un controlador proporcional. 



Para identificar el valor de ganancia k necesario para ubicar los polos en un lugar determinado, puede usarse la siguiente secuencia de comandos:



// Identificacion del valor de ganancia para los polos deseados

// hacer click con el boton DERECHO del raton. Una vez seleccionado

// el punto, hacer click con el boton izquierdo

x=locate(1)

polo=x(1)+%i*x(2);

num_eval=horner(num,polo);

den_eval=horner(den,polo);

k=abs(-1/(num_eval/den_eval));
Debe hacerse click con el boton derecho en el puntos sobre el L.G.R. donde se quiere colocar los polos. El valor sera devuelto en la variable k.







 

Respuesta de lazo cerrado




Para encontrar la respuesta al escalon, se necesita establecer la funcion de transferencia de lazo cerrado. Esto podria realizarse utilizando el algebra de bloques:




// Calculo de la funcion de transferencia de lazo cerrado

sistema2=(num/den)/(1+k*num/den);
La salida del sistema realimentado sera entonces:



// Respuesta al escalon

t=0:0.005:2;

[y X]=csim("step",t,sistema2);

plot2d(t,y);






 


Como se esperaba, la respuesta cumple con las condiciones establecidas. 

David Moreno
17812731
EES